روشها و تکنیکهای انتگرال گیری-انتگرال گیری جانشانی

آنچه که تاکنون در مورد انتگرال فراگرفتیم عبارت بود از انتگرال بر اساس قوانین پایه و فرولهای مشخص است ، اما ما برای محاسبه انتگرالها نمی توانیم همیشه از فرمولها از پیش تعریف شده استفاده کنیم ، چرا که دنیای انتگرال دنیای پیچیده ای است و عبارتهای انتگرال گیری گاهی ممکن است بیش از اندازه پیچیده شود ، بر این اساس ما باید روشها و تکنیکهای انتگرال گیری را نیز بکار ببریم ،این روشها به ما کمک می کند که انتگرال پیچیده را به صورتهایی ساده تر تبدیل کنیم و آنگاه می توانیم به راحتی انتگرال را محاسبه کنیم ، یکی از این روشها روش تغییر متغیر یا روش جانشانی است . روش انتگرال گیری جانشانی یا تغییر متغیر

هر گاه در انتگرال با عبارتی مواجه شدیم که بصورت یک تابع مرکب و یک مشتق از پارامتر آن باشد ،می توان از این روش استفاده کرد .بصورت زیر:

انتگرال گیری جانشانی

از عبارت بالا این را می فهمیم که در این روش تابع $f(x)$ اینجا همان تابعی خواهد بود که باید از آن مشتق گرفته شود و اما تابع $g(x)$

تابعی است که بصورت پارامتر تابع $f(x)$ و علاوه براین مشتق تابع $g(x)$ هم وجود دارد پس آنچه باید تغییر پیدا کند همان تابع $g(x)$ است .مثال پایین را ببینید :

انتگرال جانشانی

ببینید در مثال بالا تابع $f(x)=cos$ و تابع $g(x)$ برابر است با $x^2$ که مشتق آن برابر با $2x$ می باشد

پس الان فهمیدم که چگونه این توابع تفکیک می شوند و چه ارتباطی با هم دارند پس حالت کلی انتگرال بصورت زیر خواهد شد:

انتگرال جانشانی

الان مثال بالا را با همان روش انتگرال جانشانی حل می کنیم تا مطلب را بهتر متوجه شویم :

انتگرال جانشانی

$\int \cos u du=\sin u+c$

و چون $u=x^2$ پس خواهیم داشت که :

$\sin (x^2) +c$

اکنون که روش انتگرال گیری جانشانی و مفهوم آن را فرا گرفتیم برای فهم بهتر مطلب دو مثال را با هم حل می کنیم تا بهتر متوجه مطلب بشوید

مثال ۱: انتگرال $\int \frac{x}{x^2+1}dx$ را محاسبه کنید .

ببینید نکته ای که در این انتگرال وجود دارد این است که شما همیشه همان حالت کلی را نخواهید داشت ، یعنی حتما تابع و مشتق آن مشخص نیست بلکه ممکن است نیاز باشد در عددی ضرب یا تقسیم و یا کمی تغییرات ایجاد کنید تا همان فرم روش جانشانی حاصل شود مثلا در این مثال باید انتگرال را بصورت زیر تبدیل کنیم :

$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx$