انتگرال مفهومی

انتگرال(Integration) به عنوان یکی از پر کاربردترین مفاهیم در ریاضیات همواره از جایگاه ویژه ای در محاسبات ریاضی برخوردار بوده است. این مفهوم ابتدا درهندسه یونانی مطرح و توسط ارشمیدس برای محاسبه سطح  دایره استفاده شد. این روش در سالهای بعد برای محاسبه وجه ها و حجم هایی همچون کره، مخروط و سهمی ها بنا نهاده شد. سالها بعد، زمانی که لایب نیتز (1646-1716) و نیوتن(1642-1727) علم حسابان را کشف نمودند این مفهوم هرچه بیشتر مورد استفاده قرار گرفت. این دو دانشمند بر این باور بودند که مشتق گیری و انتگرال گیری اثر یکدیگر را خنثی میکنند و با استفاده از روابط  میان این دو مفهوم توانستند بسیاری از مسایل ریاضی، نجوم و فیزیک را حل نمایند.گائوس اولین کسی بود که جداول انتگرال را نوشته و استفاده از انتگرال را در ریاضی و علوم فیزیک کاربردی تر ساخت. از آن سال تا به امروز دانشمندان بسیاری زیادی بر روی مفاهیم وابسته به انتگرال کار کرده اند که نتایج آن را می توان در انتگرال امروزی و شیوه انتگرال گیری که هم اکنون به شرح آن می پردازیم مشاهده کنیم.انتگرال یکی دیگر از مبحث هایی است که دانش آموزان رشته ی ریاضی و فیزیک و دانشجویان رشته های فنی و مهندسی آن را می آموزند.دربخش از سری آموزش های ریاضیات به تفهیم انتگرال می پردازیم.
انتگرال چیست؟اگر مشتق را آموخته باشید,می توان گفت که انتگرال گیری عکس عمل مشتق گیری است.برای مثال اگر مشتق تابع Sin برابر Cos است,انتگرال تابع Cos برابر Sin می باشد.
انتگرال نیز مانند مشتق دارای قواعد و حالت های خاص است که بایستی آنها را فرابگیرید.اگر بخواهیم همزمان دو عمل مشتق گیری و انتگرال گیری را روی تابعی انجام دهیم,در واقع هیچ کاری انجام نداده ایم زیرا این دو عمل یکدیگر را خنثی می کنند.انتگرال از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که در کنار مشتق دو عملگر اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌دهند.

نخستین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد.

a و b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و 〈f(x تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است.
از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی‌نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوری‌های جدید، انتگرال‌گیری بر پایه متفاوتی پایه‌گذاری شده‌است.
خواص انتگرال
    انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر برابر است با به علاوه یک ثابت دلخواه.
    یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
    انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.
انتگرال نامعین
تعریف: هرگاه معادله دیفرانسیل تابعی معلوم باشد و بخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد∫ نمایش می‌دهند. به انتگرال نامعین ضد مشتق نیز گفته می‌شود، زیرا عمل انتگرال نامعین گرفتن دقیقاً برعکس عملیات مشتق‌گیری است. بنا به تعریف، نماد 〈fx〉∫را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند F(x)+c در نظر می‌گیریم هرگاه داشته باشیم:

در واقع می‌توان چنین بیان کرد:
مفهوم انتگرال معین
اولین مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال عبارت از مفهوم انتگرال می‌باشد. در این مبحث انتگرال را به عنوان اندازه مساحت سطحی که در زیر منحنی مفروض قرار گرفته است و به صورت حدی در نظر خواهیم گرفت اگر یک تابع مثبت و اتصالی y= داده شده باشد در این صورت مساحتی را در نظر می‌گیریم که در زیر این منحنی واقع است و از طرف پایین ، قطعه خطی واقع بر محور x ها محدود می‌شود که ما بین دو نقطه به طولهای a ، b و b>a واقع است و از طرفین به دو خط عمود بر محور xها که از این دو نقطه رسم شوند محدود است. هدف ما آن است که مساحت این سطح را که A نامیده می‌شود حساب کنیم.

انتگرال معین

بنا به تعریف، نماد را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای a<x<b عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
انتگرال معین یک تابع میتواند به عنوان علامت مساحت ناحیه محدود شده با گرافش نشان داده شود.
محاسبه انتگرال
اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. 2.پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :
    انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
    انتگرال گیری جزء به جزء :
    انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
    انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها
روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

منبع:http://daneshedu.ir